PROPIEDADES
DE LA INTEGRAL
ÍNDICE
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Todas las propiedades se entienden con facilidad si se ve el concepto de integral que proviene del límite de las sumas inferior o superior. Dichas propiedades son:
1.- $\displaystyle\int_a^a f(x)\, dx=0$, cualquiera que sea $f$.
2.- Si $f(x) \gt 0$ y continua en $[a,b]$, entonces $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx \gt 0$ , y si $f(x) \lt 0$ en todo [a,b], entonces $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx \lt 0$.
3.- Si $a \lt c \lt b$ y $f$ es continua en $[a,b]$, entonces:$$\displaystyle\int_a^c f(x) \, dx + \displaystyle\int_c^b f(x) \, dx = \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$$
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4.- Si $f$ es continua en $(a,b)$ y existen y son finitos los límites laterales, $\lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x)=\alpha$, $\lim\limits_{x \rightarrow b^-} f(x)=\beta$, entonces formamos las función continua en $[a,b]$: $$f_1(x)=\begin{cases} \alpha & \text{ si } x=a \\ f(x) & \text{ si } x \in (a,b) \\ \beta & \text{ si } x=b \end{cases}$$
5.- Las dos últimas propiedades amplían la definición de integral a las funciones continuas a trozos, con la condición de que no tengan ramas infinitas. Es decir que, en adelante, cuando hablemos de $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx$ supóndremos que $f$ es continua en $[a,b]$ o que, a lo sumo tiene algunos puntos de discontinuidad en los cuales hay límites laterales finitos.
6.- $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx+\displaystyle\int_a^b g(x)\, dx= \displaystyle\int_a^b (f+g)(x)\, dx$.
7.- $c \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx = \displaystyle\int_a^b c\, f(x)\, dx$.
8.- Si para cada $x \in [a,b]$ es $f(x) \leq g(x)$, entonces $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx \leq \displaystyle\int_a^b g(x)\, dx$.
9.- Teorema del valor medio del cálculo integral: Si $f$ es una función continua en $[a,b]$, entonces exite un número $c \in [a,b]$ tal que:
$$\int_a^b f(x)\, dx =f(c)(b-a)$$
Demostración:
Según el teorema de Weierstrass, como $f$ es continua en $[a,b]$, $f$ alcanza un valor máximo, $M$, y un valor mínimo, $m$. Por tanto, cualquiera que sea $x \in [a,b]$:
$$m\leq f(x) \leq M$$
$$m(b-a)\leq \int_a^b f(x)\, dx \leq M(b-a)$$
$$m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx \leq M$$
$$f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx$$
$$\int_a^b f(x)\, dx =f(c)(b-a)$$