Unidades didácticas - 2º de Bachillerato

Son muchos los casos en los que es relevante calcular el área encerrada bajo su gráfica. Vamos a estudiar esos casos en los que se trate de una función continua.

Consideremos una función que toma valores no negativos. Nuestro objetivo es calcular el área encerrada entre la curva, el Eje $X$ y las rectas $x = a$ y $x = b$.

Para hacernos a la idea, vamos a ir dividiendo el intervalo $[a,b]$ en tramos del mismo tamaño, cuya base estará en el Eje $X$ y la altura será el mínimo valor que toma la función en cada tramo.

De modo análogo podemos calcular el valor por exceso, bastaría con tomar el valor máximo de la función en cada uno de los intervalos. De esa manera obtendríamos:

$$M_1(x_1-x_0) + M_2 (x_2-x_1)+M_3(x_3-x_2)+ \cdots + M_n(x_n-x_{n-1})=\sum_{i=1}^n M_i (x_i-x_{i-1})$$

Es obvio pensar que, si nosotros vamos haciendo que crezca el número de intervalos, más cerca estaremos del valor concreto del área. También cabría pensar que podríamos haber tomado un valor intermedio, no el máximo o el mínimo, con lo que estaríamos más cerca.

INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN CONTINUA

    Sea f una función continua en $[a,b]$ tal que $f(x) \geq 0$ . Al área entre la gráfica de $f$, el Eje $X$ y las abcisas $x=a$ y $x=b$ la llamaremos $\displaystyle\int_a^b f$ , que se lee integral entre $a$ y $b$ de $f$.
    También se designa por $\displaystyle\int_a^b f(x)$ , o mas comúnmente por $\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$
    De todas formas, el papel de la variable $x$ es irrelevante, ya que esta expresión no depende de $x$, por lo que vamos a llamarla variable muda.

Para calcular el área vamos a tener en cuenta las sumas inferiores y superiores que mencionamos con anterioridad.

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    Es fácil observar en el gráfico que cuanto mayor es el número de puntos que hace la partición más se aproximan ambas sumas, entre si y al valor del área.
    No es el momento de demostrarlo por su complejidad, pero si parece evidente que cuando el tamaño de los intervalos que se toman en la suma tienda a cero, es decir, haya una cantidad muy grande de puntos, tanto la suma inferior como la superior tienden al valor del área. También valdrá cualquier suma en la que en vez de tomar el valor máximo o el mínimo se tome uno intermedio:
$$\sum_{i=1}^n f(c_i)(x_i-x_{i-1}), \; c_i \in [x_{i-1},x_i]$$