ÍNDICE
Contenidos
$$\int_a^b f(x) \, dx = G(b)-G(a)$$
Sea $F(x)=\displaystyle\int_a^x f$ la función área bajo la curva. Según vimos ya $F'(x)=f(x)$ (Teorema fundamental del cálculo).
Por tanto, como $G(x)$ es una primitiva de $f(x)$ cumplirá lo anterior. Además es conocido que dos funciones que tienen la misma derivada difieren en una constante, por tanto, $F(x)=G(x)+k$.
Si hacemos $x=a$ y teniendo en cuenta que $\displaystyle\int_a^a f(x) \, dx=0$ , resulta que:
$G(a)+k=0$, es decir, $k=-G(a)$.
En consecuencia tenemos que $F(x)=G(x)-G(a)$.
Si sustituimos $x$ por $b$, obtenemos:$$\int_a^b f(x) \, dx = G(b)-G(a)$$
- Buscamos una primitiva $G(x)$.
- Calculamos $G(a)$ y $G(b)$.
- Hacemos $\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx = \left[G(x)\right]_a^b =G(b)-G(a)$